എഞ്ചുവടി

മൂന്നുവയസ്സുള്ള ശരാശരി മലയാളിക്കുട്ടി 10 വരെ സുഗമമായെണ്ണും, മലയാളത്തിൽ. അമേരിക്കയിലെ സമപ്രായക്കാർ 15 വരെ എണ്ണും, ഇംഗ്ലീഷിൽ. ചീനത്തെ മൂന്നുവയസ്സുകാർ 40 വരെ സുഖമായി പോകും, മാൻഡറിനിൽ. ചീനത്തെ അക്കപ്പദം അത്രക്ക് ഹ്രസ്വം, സെക്കൻഡിന്റെ നാലിലൊന്ന് മതി ഒരെണ്ണം ഉച്ചരിക്കാൻ.

ഭൂഗോളത്തിന്റെ സ്പന്ദനം മാത്തമാറ്റിക്സിലാണ് –ചാക്കോ മാഷ് ഉറപ്പിച്ചു. അതു​െകാണ്ട്, ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്റെ സാമാന്യരൂപം ഏതുറക്കത്തിലും മറന്നൂടാ (A2+B2)= A2+2AB+B2.  ഭൂജാതമാവുമ്പോൾ മനുഷ്യന് അക്കബോധമില്ല –ജീൻ പിയാഷെ ഉറപ്പിച്ചു. അതുകൊണ്ട് അഞ്ചു വയസ്സോളം എണ്ണം തിരിയില്ല, ആറാകാതെ അങ്കഗണിതം പഠിപ്പിച്ചൂടാ.

ചാക്കോ മാഷിന്റെ തത്ത്വശാഠ്യം പെറ്റതൊരു ആടുതോമയെ. പിയാഷേയുടേത് പെറ്റതൊരു പാഠ്യപദ്ധതി –റിഫോം മാത്. സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ മുഖ്യവില്ലൻ കണക്കായിപ്പോയ വകയിൽ പടിഞ്ഞാറ്റിയിലെ മുൻഷിഗണം പിയാഷെ പദ്ധതി കരിക്കുലത്തിലാക്കി. ശുദ്ധഗതിക്കാരനായ ചാക്കോ മാഷെപ്പോലെ ബുദ്ധിഗതിക്കാരനായ പിയാഷെ മാഷും മാലോകരെ ഈടുറ്റ അബദ്ധങ്ങളിൽ കൊരുത്തിടുകയായിരുന്നു. കാരണം, ആറു മാസമായ കൈക്കുഞ്ഞിനുപോലും ഏറക്കുറെ തിരിച്ചറിയാം, പ്രാഥമിക എണ്ണങ്ങൾ. അക്കങ്ങൾക്കുമേൽ ഒരവികസിത ശേഷിയുണ്ട്.

മനുഷ്യക്കുഞ്ഞിന് മാത്രമല്ല കുരങ്ങിനും പറവക്കുംവരെ. പരിണാമവഴിയേ കൈവന്ന ഈ ജനിതകശേഷിക്കൊപ്പം മനുഷ്യന് സാംസ്കാരികമായി ആർജിക്കുന്ന ശേഷി കൂടിയുണ്ട് –സംഖ്യാഗണവും സംഖ്യാപദങ്ങളും. അഥവാ അക്കക്കൂട്ടം, അവയുടെ വിളിപ്പേരുകൾ. ഓരോന്നിനും വ്യതിരിക്തമായ ഇരിപ്പിടങ്ങളുമുണ്ട്, തലച്ചോറിൽ. അക്കബോധത്തിന്റേത് പാരിയേറ്റൽ ലോബ് –സ്ഥലവും ദിശയുമൊക്കെ തിരിച്ചറിയുന്ന മസ്തിഷ്കഭാഗം. എണ്ണം നിർണയിക്കപ്പെടുന്നത് ദൃശ്യശേഷിയുടെ ഇരിപ്പിടത്തിൽ –എണ്ണണമെങ്കിൽ ‘കാണണ’മല്ലോ. ഭാഷാ സംസ്കരണം നടത്തുന്നിടമാണ് അക്കങ്ങളെ വാക്കുകളിൽ ആവിഷ്കരിക്കുക.

മനുഷ്യൻ പിറന്നുവീഴുന്നതേ പ്രാക്തനമായൊരു സഹജാവബോധത്തോടെയാണ് –ഗണിതകാര്യത്തിൽ. ഈ അവബോധത്തെ അക്കസാക്ഷരതക്കായി കുട്ടികൾ വസൂലാക്കുകയാണ്. മനുഷ്യനും മൃഗങ്ങളും ഒറ്റനോക്കിലേ തിരിച്ചറിയും. ചുറ്റുവട്ടത്തെ വസ്തുവക, അവയുടെ എണ്ണം. ‘അബോധപൂർവമായ തിട്ടപ്പെടുത്തൽ’ –മനശ്ശാസ്ത്രം അങ്ങനെ ഉരുട്ടിപ്പിരട്ടിയിരുന്നു. മറിച്ചാണ് കഥ. ഒരേ നിമിഷം നാലഞ്ചു വസ്തുക്കൾ ഒറ്റയടിക്ക് മനസ്സിലാവുന്നുണ്ട് മനുഷ്യന്– ഓരോന്നായി വെവ്വേറെ ശ്രദ്ധിക്കാതെ തന്നെ (subitizing എന്ന്​ പറയുന്നു). അതെങ്ങനെ സാധിക്കുന്നു? അറിയാൻ അക്കബോധവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മസ്തിഷ്ക സിരകളെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു നോക്കണം, തീവ്രമായി. കുരങ്ങുകളിൽ ആ പരീക്ഷണം നടത്തി, സഫലമായി.

അക്കബോധം ജനിതകമാണെന്ന് കണ്ടു. തലച്ചോറിലെ അതിന്റെ മേൽവിലാസവും കിട്ടി. അപ്പോഴും പക്ഷേ, ഗണിതവും മസ്തിഷ്കവും തമ്മിലെന്ത് എന്നതിന്റെ കാൽഭാഗമേ വെളിപ്പെടുന്നുള്ളൂ. കോർട്ടക്സിലെ അക്കബോധത്തിന്റെ പരിക്രമണവലയം മറ്റു സിരാപ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള വലയങ്ങളോട്​ കൂട്ടിപ്പിണഞ്ഞാണ് കിടപ്പ്. ഈ നാരുപടലത്തെ ന്യൂറോ-ഇമേജിങ് വഴി അടരടരായി വേർപെടുത്തി. അങ്ങനെ നമ്മുടെ ‘മൾട്ടി–നോട്ട’ത്തിന്റെ നാഡീരൂപരേഖ തയാർ.

 അക്കബോധം മാത്രമേ ജനിതകമായി കൈവരുന്നുള്ളൂ. അതുമാത്രം ​െവച്ച് ഗണിതക്രിയ ചെയ്യാനാവില്ല. സാംസ്കാരികമായ ചില ഉപാധികൾ കൂടി വേണം– ചിഹ്നങ്ങളും അൽഗോരിതങ്ങളും മറ്റും. ഏതാനും ആയിരത്താണ്ടേ ആയിട്ടുള്ളൂ മനുഷ്യൻ ചിഹ്നങ്ങൾ ചമച്ചിട്ട്. ശിരസ്സിനുള്ളിലെ ഗണനകേന്ദ്രങ്ങൾ ഈ നവാഗതരെ സ്വാംശീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ജനിതകവും ആർജിതവും പൊരുത്തപ്പെട്ടാലേ ഗണിതപ്രക്രിയ സുഗമമാവൂ. ഒന്നുകിൽ, ആർജിതം (ഉദാ: പാഠ്യമുറ) ജനിതകത്തിന് ഇണങ്ങുന്നതാവണം. അല്ലെങ്കിൽ, ആർജിതത്തിന് നിരക്കുംവിധം ജനിതകത്തിന്റെ വാസ്തുഘടന മാറ്റണം. രണ്ടാമത്തേത് ഏതായാലും തൽക്കാലം അസാധ്യം. അതുകൊണ്ട് ആദ്യത്തേതിന്മേലാണ് മനുഷ്യരുടെ അധ്വാനമത്രയും –പഠനപരിഷ്കാരം കൂടെക്കൂടെ.

അക്കബോധത്തിനുള്ള നമ്മുടെ മസ്തിഷ്ക ക്രമീകരണത്തിന് കീശക്കാൽകുലേറ്ററിലെ കുഞ്ഞു ചിപ്പിന്റെ ശേഷിപോലുമില്ല. ഈ പോരായ്മ തുടക്കത്തിലത്ര പ്രശ്നമല്ല. അംഗൻവാടിപ്പരുവത്തിന് മുമ്പുതന്നെ ചെറു കണക്കുകൂട്ടലൊക്കെ മനുഷ്യക്കുഞ്ഞിന് കഴിയും. പ്രശ്നം വരിക ഗുണനം വരുമ്പോഴാണ്. ജനിതകമായുള്ള തിട്ടപ്പെടുത്തൽശേഷിയോ ഉൾക്കാഴ്ചയോ ഒന്നും ഇക്കാര്യത്തിൽ ചെലവാകില്ല. ഏക പോംവഴി, ഗുണന യാഥാർഥ്യത്തെ തലയിൽ ശേഖരിക്കലാണ്. ഗുണനപ്പട്ടിക മനപ്പാഠമാക്കാൻ പഴമക്കാർ ശഠിച്ചത് വെറുതെയല്ല. ഓർമച്ചെ/ച്ചിപ്പിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ട അങ്കഗണിത ഘടകങ്ങൾ നന്നേ കുറവ്. അത്തരത്തിൽ പാകപ്പെട്ട ശിരോവ്യവസ്ഥിതിക്ക് ഗണനക്രിയ പ്രശ്നകാരിയാകും. കാരണം, ഗുണിക്കു​േമ്പാൾ ഒരേ അക്കം വ്യത്യസ്ത ക്രമങ്ങളിൽ ആവർത്തിച്ചു വരാം, ഒന്നിന്മേൽ മറ്റൊന്ന് കവിഞ്ഞു കിടക്കാം.

അതോടെ പിഴക്കും താളക്രമം. രണ്ടു ഭാഷകൾ പേശുന്നയാൾ ഗുണനംചെയ്യുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടില്ലേ, പ്രാഥമികമായി ശീലിച്ച ഭാഷയിലാവും അക്കങ്ങളുടെ ചൊൽപ്പേര് ഉച്ചരിക്കുക. കാരണം, കമ്പ്യൂട്ടറിലേതു മാതിരിയല്ല മസ്​തിഷ്കത്തിലെ ‘മെമ്മറി’. സംയോജിതമാകാൻവേണ്ടി പരിണമിച്ചുവന്നതാണത്. ഗുണനക്രിയയിലാകട്ടെ, കൂടിക്കലരാതെ വേറിട്ടുവേണം വിവരശകലങ്ങളെ (bits) നിർത്തേണ്ടത്. പ്രശ്നം ഇവിടെ ഇരട്ടിക്കുന്നു. ഒന്ന് ജന്മസിദ്ധമായ അക്കബോധ പരിസരത്തുനിന്ന് അകന്നാണ് ഗുണനത്തിന്റെ നിൽപ്. രണ്ട്, സ്മൃതിയുടെ സംയോജിത ഘടനയോട് അത് ഇടയുന്നു. ഇതുസംബന്ധിച്ച ഗവേഷണത്തിൽ നിന്നുതന്നെ ഉദാഹരിക്കാം: ഒറ്റയക്ക സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ മുതിർന്ന മനുഷ്യൻ 10-15 ശതമാനം പിശക് വരുത്തുന്നു. സംഖ്യ വലുതാവുന്തോറും പിശക് 25-30 ശതമാനമാകുന്നു.

ഈ പോരായ്ക സംഗതമായ മറ്റൊരു ചോദ്യമുയർത്തുന്നു, അരനൂറ്റാണ്ടു മുമ്പ് റെനെ തോം ഉന്നയിച്ചത്: ‘‘ഇലക്ട്രോണിക് കാൽക്കുലേറ്ററുള്ളപ്പോൾ ഹരണം പോലുള്ള ‘കഠിനക്രിയകൾ’ കുട്ടികളുടെ തലയിൽ കയറ്റുന്നതെന്തിന്? മടുപ്പൻ ക്രിയകൾ സ്മൃതിമണ്ഡലത്തിലേക്ക് തിരുകിക്കയറ്റി നാഴികകൾ ഹോമിക്കുന്നതിന് പകരം, പ്രക്രിയകളുടെ അർഥങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധിക്കാൻ കുട്ടികൾ സ്വതന്ത്രരാവും –കാൽക്കുലേറ്റർ കൈയിലുണ്ടെങ്കിൽ.’’

ഇക്കാരണത്താലാണ് തോം പറഞ്ഞത്, 15 വയസ്സോളം കുട്ടികൾ പ്രാഥമിക ഗണിതം മാത്രം ശീലിച്ചാൽ മതിയെന്ന്. അനന്തരം ശരിക്കും ഗണിത താൽപര്യമുള്ളവർ മാത്രം ഈ ശാസ്ത്രം പഠിക്കട്ടേന്ന്് (ആളെ മനസ്സിലായില്ലേ –ഗണിതശാസ്ത്ര നൊ​േബലായ ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ അങ്ങോട്ടുചെന്ന് മുട്ടിയ ഫ്രഞ്ച് പ്രതിഭ).

അപ്പോൾ കണക്ക്​ പഠിപ്പ്​ എങ്ങനെ? കണക്കിന്റെ ‘തലയിലെഴുത്തി’ന്മേൽ തല പുകച്ച നാഡീശാസ്ത്രജ്ഞൻ സ്റ്റാനിസ്ലാസ് ദഹാൻ മേശവിളക്ക്​ തെളിക്കുന്നു: ‘‘കുട്ടികൾ ഒരേപോലെയല്ലെന്നത് ശരിതന്നെ. പക്ഷേ, സ്വന്തം വഴികളിലൂടെ വ്യത്യസ്ത വിധങ്ങളിൽ കണക്ക് ചെയ്യാൻ അവരോട് പറയുന്നത് ശരിയല്ല. മസ്തിഷ്ക സംവിധാനം കുട്ടികളിലും മുതിർന്നോരിലുമെല്ലാം ഒരേ വിധമാണ്. ചില്ലറ വ്യതിയാനങ്ങളോടെ നാമെല്ലാം സഞ്ചരിക്കുന്നത് ഒരേ റോഡിലൂടെത്തന്നെ.’’

മസ്തിഷ്കപാത ഒന്നുതന്നെയെങ്കിൽ ഗണിതസഞ്ചാരത്തിൽ എന്തേ ചിലർ വ്യത്യസ്തരാകുന്നു, മറ്റുള്ളവരിൽനിന്ന്? ശീമയിലെ കുട്ടികളേക്കാൾ ചീനത്തെ സമപ്രായക്കാർക്കെന്തേ ഗണിതപഠനം എളുപ്പത്തിൽ വഴങ്ങുന്നു? ചീനത്തും ജപ്പാനിലുമുള്ള ഗണിത കരിക്കുലം നോക്കുക. മേൽത്തരം ഘടനാനുഭവം പകരുന്നു, അവ കുട്ടികൾക്ക്. കാരണം, പഠിപ്പിന്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും അവരിൽ ഉളവാകാവുന്ന പ്രതികരണങ്ങൾ മുമ്പേറായി കണ്ട് ചിട്ടപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ക്രിയകൾ ഉയർത്താവുന്ന വൈഷമ്യം ഇളയ്​ക്കാനും പിണയാവുന്ന പിശകുകൾ കുറക്കാനും പാകത്തിൽ. പാഠ്യമുറയിലെ ഈ വ്യത്യാസം പിറക്കുന്നത് സംസ്കാരത്തിൽനിന്നാണ്. കണക്കിന്റെ കാര്യത്തിലെ ജനിതക തുല്യത പരിണാമസൃഷ്ടി. പരിണാമം നമുക്കൊരു സംഖ്യാരേഖ തരുന്നു. അതിലെ അക്കവും തിട്ടവും കണിശസുന്ദരമാകാൻ മറ്റൊന്നുകൂടി വേണം- ചിഹ്നവ്യവസ്ഥിതി. അത് സൃഷ്ടിക്കുന്നത് സംസ്കാരമാണ്.

ആമസോൺ പ്രദേശത്തെ മുൻഡുറുകു ഗോത്രം. അവരുടെ സംഖ്യാപട്ടികയിൽ വാക്കാൽ പറയാവുന്ന അക്കങ്ങൾ അഞ്ചുമാത്രം. മൂന്നു വസ്തുക്കൾ കാട്ടിയാൽ മൂന്നെന്ന് പറയും, ചിലപ്പോൾ നാലെന്ന്. ജന്മസിദ്ധമായ അക്കബോധത്തെ പൊലിപ്പിക്കുന്ന സാംസ്കാരികോപാധികൾ ആ കുഞ്ഞുസമൂഹത്തിന് ഇല്ലാതെ പോയതാണ് പ്രശ്നം.

ഭൂലോകത്ത് ഇന്നുള്ള ചിഹ്നങ്ങളത്രയും മനുഷ്യസമൂഹങ്ങളുെട വികാസകാലേ ഉരുത്തിരിഞ്ഞവയാണ്. ഏറക്കുറെ സമാനഘട്ടങ്ങളിലാണ് റോമനും ചീനവും അറബിയുമൊക്കെയായ അക്കരൂപങ്ങൾ വിരിഞ്ഞത്. ഇതൊന്നും മസ്തിഷ്കത്തിൽ പരിണാമം വരഞ്ഞിട്ടതല്ല. വ്യത്യസ്ത സംസ്കാരങ്ങളിൽനിന്ന് സ്വീകരിച്ചതാണ്, ഉച്ചരിക്കുന്നത് വ്യത്യസ്ത രീതികളിലാണെങ്കിലും. അത് ഭാഷാവൈജാത്യത്തിന്റെ ക്രിയാഫലം. ഭാഷയ്ക്കെന്താ കണക്കിൽ കാര്യം?

11 തൊട്ട് 19 വരെയുള്ള അക്കങ്ങളുടെ ഉച്ചാരണം കേട്ടുനോക്കൂ. പത്തിൻമീതെ ഒന്ന്, അതാണ് മലയാളിക്ക് പതിനൊന്ന്്. പത്തിൻമീതെ രണ്ട് പന്തിരണ്ട് അഥവാ പന്ത്രണ്ട്. ഇംഗ്ലീഷുകാർക്കിതല്ല രീതി. വൺ, റ്റൂ, ത്രീ... പറയുന്നോർ പത്തിന് മീതേക്ക് നാവെറിയുമ്പോൾ ഒന്നുമുതൽ ഒമ്പതുവരെയുള്ള അടിസ്ഥാന സംഖ്യകളുടെ ശബ്ദം മായുന്നു: ഇലവൻ, ട്വൽവ്, തേർട്ടീൻ... ചീനത്ത് പക്ഷേ ലീലയൊന്നു വേറെ– അക്കപ്പദ വിന്യാസം സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാന ദശരൂപം മൃദുവാ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. അതും, ഏറ്റം ഹ്രസ്വമായ ശബ്ദമാത്രകളിൽ, ഫലമോ?

മൂന്നു വയസ്സുള്ള ശരാശരി മലയാളിക്കുട്ടി 10 വരെ സുഗമമായെണ്ണും, മലയാളത്തിൽ. അമേരിക്കയിലെ സമപ്രായക്കാർ 15 വരെ എണ്ണും, ഇംഗ്ലീഷിൽ. ചീനത്തെ മൂന്നുവയസ്സുകാർ 40 വരെ സുഖമായി പോകും, മാൻഡറിനിൽ. ചീനത്തെ അക്കപ്പദം അത്രക്ക് ഹ്രസ്വം, സെക്കൻഡിന്റെ നാലിലൊന്ന് മതി ഒരെണ്ണം ഉച്ചരിക്കാൻ. ഇംഗ്ലീഷ് അക്കപ്പദത്തിന് സെക്കൻഡിന്റെ മൂന്നിൽ രണ്ടു വേണം. മലയാളത്തിന് സെക്കൻഡൊന്ന് തികച്ചും. കമ്പ്യൂട്ടർ മെമ്മറി ശൈലിയിൽ, ശരാശരി ചീനർക്ക് 9^ ഡിജിറ്റ് മെമ്മറി സ്പാൻ. ഇംഗ്ലീഷുകാർക്ക് 7 -ഡിജിറ്റ്, മലയാളിക്ക് അതിലും താഴെ. അതിൽതന്നെ 55ന് ‘അമ്പത്തഞ്ച്’ പറയുന്നവരും ‘അമ്പത്തിയഞ്ച്’ പറയുന്നവരും ‘അയ് മ്പത്തഞ്ചു’കാരും സ്മൃതിയളവിലെ വൈജാത്യമേറ്റുന്നു.

പരിണാമവഴിയേ തലച്ചോറിലെത്തിയ അക്കബോധം മനുഷ്യരിൽ തുല്യമായിരിക്കെ തന്നെ സാംസ്കാരികവഴിയേ വികസിച്ച ഗണിതശേഷി വ്യത്യസ്തം. ഭാഷയുടെ മാതിരി ‘തലയിലെഴുത്ത’ല്ല ഗണിതം. അക്കബോധത്തിന്റെ നൈസർഗിക ചോദനക്ക് നിരക്കുന്ന ലളിതഗണിതം ഒഴിച്ചാൽ, കണക്കിലാരും ‘നിറകുട’മല്ല. അക്കണക്കിന്, ചാക്കോ മാഷിന് കൊടുക്കാം ലേശം ഗ്രേസ്​ മാർക്ക്. പിയാഷെ മാഷിനില്ല.